Задача №2.
Даны векторы , , , . Показать, что образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Вариант 7. , , , .
Решение:
данные векторы имеют три координаты, следовательно, принадлежат трехмерному векторному пространству, следовательно, базис такого пространства состоит из трех линейно независимых векторов. Поэтому проверим, являются ли векторы линейно независимыми:
т.е. выполняется ли:
.
Равенство соответствует однородной системе линейных уравнений:
известно, что такая система имеет единственное решение нулевое тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля, найдем определитель системы:
, следовательно, рассматриваемая система имеет единственное нулевое решение . Тогда векторы , , образуют базис, что и требовалось показать.
Найдем координаты вектора в этом базисе:
пусть в этом базисе координаты вектора , тогда:
и следовательно, получим систему линейных уравнений:
решим ее методом Гаусса:
выпишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к «треугольному» виду
Содержание
Задача №1
В прямоугольнике ABCD: АС=с, АМ=m, где АС диагональ, а точка М делит сторону DC в отношении 1:2. Через векторы c и m выразить:AB, BC, CD, AD, BD.
Задача №2.
Даны векторы a, b,c,d. Показать, что образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
a=(1,-2,3),b=(4,7,2),c=(6,4,2),d=(14,18,6).
Задача №3.
На материальную точку действуют силы f1,f2,f3. Найти работу равнодействующей R этих сил, при перемещении из положения А в положение В и момент равнодействующей силы относительно точки В.
f1=5i+3j-5k,f2=-i+2j+2k,f3=-2i-4j+5k, А(-2,1,1), В(5,1,1).
Задача №4.
При каких значениях параметра a векторы a и b ортогональны, векторы a и c коллинеарны, векторы a, b и c компланарны.
a=(a,2,3),b=(2,-1,5),c=(5,10,15).
Задача №5. Даны координаты вершин треугольника АВС. Сделать чертеж и найти:
1) длину стороны АВ;
2) проекцию стороны АВ на сторону ВС;
3) внутренний угол при вершине А;
4) площадь треугольника АВС;
5) уравнение стороны ВС;
6) уравнение высоты, опущенной из вершины А;
7) уравнение медианы, проведенной из вершины В;
8) точку пересечения медианы и высоты.
А(4,2), В(6,-5), С(-5,4).
Задача №6.
Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду и построить эти кривые.
а)x^2+y^2-4x+2y+1=0;б)x^2+4y^2-6x+16=11;в)y^2+8y-x+3=0;г)4y^2-x^2-2x+8y+4=0.
Задача №7.
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Сделать чертеж и найти:
1) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
2) объем пирамиды;
3) уравнение прямой А1А2;
4) уравнение плоскости А1А2А3;
5) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
A1(3,1,1),A2(1,4,1),A3(1,1,7),A4(3,4-1).
Задача №8.
Построить тело, ограниченное поверхностями.
y=x^2,z=0,z+y=2.
Задача 4.
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Задача 5.
Исследовать функцию на непрерывность и указать тип разрыва точки .
Задача 6.
Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематически график функции.
Вариант №7
Задача 1. Решить уравнение . Выяснить связь между корнями.
Задача 2. Выполнить действия над комплексными числами:
Задача 3. Число представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразить геометрически. Найти , .
Задача 4. Изобразить область комплексных чисе, заданную неравенствами , , .
Задача 5. Вычислить определитель:
Задача 6. Выполнить действия над матрицами:
Задача 7. Найти собственные значения и векторы матрицы:
Задача 8. Методами Крамера, матричным, Гаусса решить систему:
Задача 9. Решить однородную систему:
Задача 10. Исследовать совместность и найти общее решение системы: