Задача 1. В лотерее участвует 100 билетов, 15 из них выигрышные. Какова вероятность выигрыша, если приобретен один билет. Какова вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, если приобретено два билета.
Решение:
,
вероятность выигрыша, если приобретен один билет:
;
вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, если приобретено два билета:
Задача 2. В первой урне 20 белых шаров и 15 черных шаров, во второй урне 15 белых шаров и 18 черных шаров. Не глядя, достали по одному шау из каждой урны. Какова вероятность того, что:
а) оба шара белые;
b) оба шара черные;
с) шары разного цвета.
Решение:
а) вероятность того, что из первой урны вынули белый шар:
,
вероятность того, что из второй урны вынули белый шар:
,
тогда по теореме умножения вероятностей двух несовместных событий, искомая вероятность того, что оба шара белые:
;
b) вероятность того, что из первой урны вынули черный шар:
,
вероятность того, что из второй урны вынули черный шар:
,
тогда по теореме умножения вероятностей двух несовместных событий, искомая вероятность того, что оба шара черные:
;
с) вероятность того, что шары разного цвета, найдем как вероятность события противоположному событию, состоящему в том, что оба шара белые или оба шара черные:
.
Задача 3. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на проверку предоставлены несколько балансов. Найти вероятность того, что:
а) из 8 проверенных балансов в трех выявлены ошибки;
b) из 150 проверенных балансов в 50 выявлены ошибки;
c) из 100 проверенных балансов менее 40 содержат ошибки.
Решение:
а) для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:
,
итак, имеем , тогда , тогда вероятность того, что из 8 проверенных балансов в трех выявлены ошибки:
;
b) т.к. при неограниченном возрастании числа испытаний n биномиальный закон распределения нормированной частоты в пределе превращается в нормальный, тогда искомая вероятность:
, т.е. имеем ;
c) вероятность того, что из 100 проверенных балансов менее 40 содержат ошибки:
.
Задача 4. У акционера три пакета акций. Вероятность получить доход по первому пакету акций 0,5; по второму - 0,6; по третьему 0,7. Х число пакетов акций, по которым их владелец получит доход.
Для случайной величины Х построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.
Решение:
Х число пакетов акций, по которым их владелец получит доход. Тогда значения, которые может принимать данная случайная величина:
, соответствующие вероятности:
;
;
;
следовательно, ряд распределения:
Содержание
Задача 1. В лотерее участвует 100 билетов, 15 из них выигрышные. Какова вероятность выигрыша, если приобретен один билет. Какова вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, если приобретено два билета.
Задача 2. В первой урне 20 белых шаров и 15 черных шаров, во второй урне 15 белых шаров и 18 черных шаров. Не глядя, достали по одному шару из каждой урны. Какова вероятность того, что:
а) оба шара белые;
b) оба шара черные;
с) шары разного цвета.
Задача 3. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на проверку предоставлены несколько балансов. Найти вероятность того, что:
а) из 8 проверенных балансов в трех выявлены ошибки;
b) из 150 проверенных балансов в 50 выявлены ошибки;
c) из 100 проверенных балансов менее 40 содержат ошибки.
Задача 4. У акционера три пакета акций. Вероятность получить доход по первому пакету акций 0,5; по второму - 0,6; по третьему 0,7. Х число пакетов акций, по которым их владелец получит доход.
Для случайной величины Х построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.
Задача 5.
1. Составить функцию плотности распределения вероятностей ;
2. Изобразить схематично кривую распределения;
3. Найти вероятность попадания в интервал (10;14)
а) если непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке [8;16];
b) если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром ;
с) если непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами .